*** Tension aux bornes d'un dipôle

On s'intéresse à la tension \(u\) aux bornes d'un dipôle. \(u\) varie en fonction du temps \(t\).
Pour \(t\) exprimé en secondes, la tension s'exprime en volts et vérifie \(u(t)=\text{cos}(50t)+\sqrt{3}\text{sin}(50t)\).

1. Sur le fichier de géométrie dynamique ci-dessous, déplacer les curseurs pour trouver deux nombres réels \(A\) et \(\varphi\) tels que \(u(t)=A\times \text{cos}(50t+\varphi)\).
2. On cherche une valeur exacte de \(A\) et de \(\varphi\).
    a. Exprimer \(A\times \text{cos}(50t+\varphi)\) en fonction de \(\text{cos}(\varphi)\) et de \(\text{sin}(\varphi)\).
    b. En déduire que, pour avoir \(u(t)=A\times \text{cos}(50t+\varphi)\), pour tout réel \(x\), il suffit d'avoir\(A\times \text{cos}(\varphi)=1\) et \(A\times \text{sin}(\varphi)=-\sqrt{3}\).
    c. En déduire qu'il suffit d'avoir \(A\text{e}^{\text{i}\varphi}=1-\text{i}\sqrt{3}\).
    d. Écrire \(1-\text{i}\sqrt{3}\) sous forme exponentielle.
    e. Proposer des valeurs exactes de \(A\) et de \(\varphi\) pour lesquelles on a bien \(u(t)=A\times \text{cos}(50t+\varphi)\) pour tout réel \(x\).
    f. Déterminer la valeur maximale de la tension aux bornes de ce dipôle.